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高中数理化

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2026年15期

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名师工作室 | 认识几类特殊的函数

名师工作室 | 认识几类特殊的函数

高考数学与高等数学知识(如高斯函数、狄利克雷函数、欧拉函数、黎曼函数等)的衔接,常以小题的形式呈现,意在考查数学抽象、逻辑推理、直观想象和数学运算等核心素养.本文举例说明. 1 高斯函数高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,用其名字命名的高斯函数为:设 x∈R ,用 [x] 表示不超过 x 的最大整数,则 y=[x] 称为高斯函数. 例 1 （多选题）
高考全关注 | 和差代换:一种值得重视的教材隐性资源

高考全关注 | 和差代换:一种值得重视的教材隐性资源

和差代换蕴含着将数学对象转化为“和”与“差”两种基本结构的思想，是贯穿三角函数与向量等内容的重要数学方法.本文以教材中的和差分解为切入点，通过梳理2021—2026年高考真题中的典型案例，揭示和差代换在和差化积、最值求解、条件换元以及向量运算中的统一作用机制，凸显转化思想这一数学本质.教学中应重视对教材隐性资源的挖掘，引导学生从知识结论走向思想方法，从题型训练走向结构认知，促进数学核心素养的发展.
高考全关注 | 2026 年数学新高考Ⅱ卷试题溯源分析及教学启示

高考全关注 | 2026 年数学新高考Ⅱ卷试题溯源分析及教学启示

为探究数学新高考命题规律以及试题与教材内容的内在联系,本文以2026年数学新高考Ⅱ卷为研究对象,将全卷划分为基础再现型、知识融合型、变式与综合应用型以及动态与含参探究型这四类题型.通过逐题溯源教材,系统分析试卷的命题逻辑,发现新高考试题基本根植于教材内容,主要通过改编数据、变换情境、逆向设问、模型迁移、引入动态参数等方式完成创新命题.试卷难度梯度清晰,落实数学学科核心素养,体现出新高考“立足教
高考全关注 | 例析高考数学预备知识综合题

高考全关注 | 例析高考数学预备知识综合题

本文所述预备知识,是指支撑高中数学学习的基础工具性知识.预备知识综合题多出现在选择题、填空题的前几题,分值不高,却直接关系到整张试卷的答题起步状态.这类题所涉及的内容并不陌生,学生失分常常不是“不会”,而是看条件不细、辨关系不准、选方法过急等,结果把本可拿到的基础分丢掉.近年来这类题的设问方式更加灵活,知识点之间的衔接更为紧密.本文结合高考真题,分析预备知识综合题的常见命题类型、解题思路及其背
聚焦新课程 | 回归教材,探寻本源,提升思维

聚焦新课程 | 回归教材,探寻本源,提升思维

2026年数学新高考卷试题加强对基础知识的考查，引导学生构建系统化、结构化的数学知识体系，创新情境设计，通过开放设问鼓励多路径探究与论证，将考查的重心置于学生的思维品质与核心素养上，强化对思维过程的考查。本文立足2026年数学新高考卷命题特点，以北师大版高中数学教材为核心载体，分析高考数学回归教材、立足基础、聚焦素养、考查思维的命题新导向，结合高考数学真题与教材例题、习题的溯源对比，揭示高考
聚焦新课程 | 溯源教材多解探究

聚焦新课程 | 溯源教材多解探究

1 引言《普通高中数学课程标准（2017年版2025年修订）》（以下简称《课标》）明确提出：“能够掌握平面解析几何解决问题的基本过程……根据几何问题和图形的特点，用代数语言把几何问题转化为代数问题；根据对几何问题（图形）的分析，探索解决问题的思路；运用代数方法得到结论；给出代数结论合理的几何解释，解决几何问题。”《课标》对“导数在研究函数中的应用”提出明确要求：“①结合实例，借助几何直观了
强基竞赛 | 两个函数经过四则运算所得函数图像的对称性探讨 ——从一道竞赛试题谈起

强基竞赛 | 两个函数经过四则运算所得函数图像的对称性探讨 ——从一道竞赛试题谈起

众所周知，两个奇函数经过四则运算所得函数在公共定义域非空的前提下仍然具有奇偶性，两个偶函数也有相同的结论.那么自然要问，两个具备一般对称性的函数经过四则运算所得函数在定义域满足对称性的前提下是否还具有对称性？为探讨这一问题，本文从一道竞赛试题出发，分析两个具有一般对称性的函数经过四则运算所得函数的对称性规律，供参考. 1 题目呈现与解析题目（2026年四川省高中数学联赛预赛2）设 a，b∈R
题根研究 | 回归教材,拓广探索

题根研究 | 回归教材,拓广探索

诸多数学习题蕴藏着可深度挖掘的教学价值、发展价值与教育价值，具备极大的拓展运用空间。这一观点同样适用于高中数学教材。教材中的例题与习题凝聚了数学教育专家与学者的集体智慧，是学科教学经验与知识体系的精华，兼具典型性、代表性与可迁移性。纵观历年高考数学命题，教材始终是核心命题源头、母题根基与拓展蓝本，具备极强的示范与引领作用，绝大多数高考真题都能在教材例题、习题中找到原型与溯源依据。本文以202
题根研究 | 三角函数背景下数列周期性问题的解法探究

题根研究 | 三角函数背景下数列周期性问题的解法探究

(河南省信阳大别山高级中学) 在数列与三角函数交会的试题中,周期性是常见的命题切入点.此类问题常以等差数列为载体,结合三角函数的周期性,构造具有特定周期的数列,进而研究其项所构成集合的元素个数等性质.这类题型综合性强、解法灵活,既能考查学生对数列与三角函数基础知识的掌握程度,又能检验其数形结合与代数推理的能力.本文结合一道典型模拟题,探究不同解法,并进行变式拓展,以期帮助学生拓宽解题思路,培养数
题根研究 | 2026 年数学新高考Ⅰ卷第 8 题的多解探究与变式训练

题根研究 | 2026 年数学新高考Ⅰ卷第 8 题的多解探究与变式训练

2026年数学新高考Ⅰ卷的命题取向明显贴近课标，单选题第8题便是典型范例。题目所承载的运算量不大，却将概率问题嵌入集合的对称结构，64个点中只移除一个，便构成了一个值得仔细研究的随机变量模型。与传统概率求解采用的分布列枚举不同，命题意图明显在于引导学生借助期望的线性性质，利用整体对称性，简化计算，落实“多想少算”的命题理念。从表面上看，题干并不复杂，只要深入探究，便能察觉到它在考查古典概型与期
题根研究 | 由一道高考题引发的思考

题根研究 | 由一道高考题引发的思考

函数的极值点与零点关系问题是一类综合性较强、思维要求较高的题型，在高考中频繁出现，不仅考查学生对函数性质、导数应用等基础知识的掌握，更注重考查学生的逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养。本文以2025年数学新高考Ⅱ卷第18题为切入点，给出求解此类问题的通性通法，并在原有基础上进行推广，探究命题思路，为高考命题研究与数学教学提供参考。 1 试题呈现题目已知函数，其中 . (1)
题根研究 | 一题多解、拓展延伸

题根研究 | 一题多解、拓展延伸

2026 年数学新高考Ⅰ卷显著降低了整卷的计算量,明显展现出“多想少算”的设计理念,“多想少算”本质是引导学生通过思维优化来减少机械性运算.该卷第 18 题为解析几何题,突出考查学生的理性思维和探究能力,让部分套路失效、模板不再适用.在解题中如果能关注图形的几何性质,则能化繁为简.下面针对本题进行一题多解与拓展延伸. 1 一题多解题目已知椭圆的左焦点为 F(-1,0) ，离心率为
考题分类评析 | 含二次式的初等函数定义域与值域问题探究

考题分类评析 | 含二次式的初等函数定义域与值域问题探究

初等函数是高中数学函数体系的核心内容,而含二次式的初等函数因融合了二次函数图像性质与基本初等函数的定义域、值域约束,成为函数问题中的重难点.本文以 , , f(x)=abx2+cx+d (a>0且 a≠1 ), f(x)=loga(bx2+cx+d) (a>0且 a≠1 )四类典型含二次式的初等函数为研究对象,系统分析其定义域为A、值域为B的充要条件,并通过具体实例帮助学生突破求解此类问题
考题分类评析 | 与函数相关的最值问题分类解析

考题分类评析 | 与函数相关的最值问题分类解析

借助导数求函数最值问题是高中数学的核心内容,也是高考数学的必考题型.这类问题综合性较强,常以解答题的形式出现,重点考查学生利用导数工具分析函数性质、计算极值与最值的能力.本文以近年高考真题为例,系统梳理了运用导数求函数最值问题的解题策略,旨在帮助学生形成清晰的解题思路. 1 三角函数的最值问题此类问题通常以三角函数为背景,要求学生在给定区间内借助导数分析函数的单调性,并进一步确定函数的最大值
考题分类评析 | 含参一元二次不等式问题解题要点评析

考题分类评析 | 含参一元二次不等式问题解题要点评析

含参一元二次不等式是高考数学中的高频考点，因其融合数形结合、分类与整合等思想，成为学生备考中的难点。本文结合例题系统梳理含参一元二次不等式的常见题型及其解题策略，并通过变式训练强化解题思维，旨在帮助学生构建清晰的解题框架，提升其应对高考的综合能力。 1 题型分类与解题策略 1) 参数影响判别式与根的情况在此类问题中,参数主要出现在一次项或常数项中,影响方程的根,进而影响不等式的解集. 例 1
考题分类评析 | 回归思维本质,凸显素养价值 ——2026年数学新高考Ⅰ卷评析与备考启示

考题分类评析 | 回归思维本质,凸显素养价值 ——2026年数学新高考Ⅰ卷评析与备考启示

《普通高中数学课程标准(2017年版2025年修订)》(以下简称《标准》)明确指出:“考试命题应按照学业要求和学业质量的不同水平,整体考查学生数学学科核心素养的达成程度……”高考试题的命制立足数学教育原点,从数学思维的本质出发,注重基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验(以下简称“四基”)的评价,以教材为本,突出对核心素养的测评.深入研究2026年数学新高考Ⅰ卷对引领学生后续学习与备考都有
重点辅导 | 从“盲算”到“谋算”

重点辅导 | 从“盲算”到“谋算”

在导数问题的解题过程中,许多同学常常陷入“算得满头大汗,写得密密麻麻,最后却算不出,或是算出来了却没用”的窘境.究其原因,往往不是公式记不住,也不是计算能力弱,而是缺乏指导运算的“导航系统”,即解题意识.面对一个导数问题,是直接动笔蛮算,还是先观察后动手?是死磕一个变量,还是转换主元?这些思维策略决定解题的成败.本文梳理导数解题过程中的五大意识,以期帮助读者从“盲算”走向“谋算”. 1 观察
重点辅导 | 处理分段函数问题的几点注意

重点辅导 | 处理分段函数问题的几点注意

以分段函数为背景的题目是历年高考的常考题型,难度多为中档偏上.此类问题能综合考查函数的各种性质、多种数学思想及核心素养.本文给出处理分段函数问题的几个注意点,以期对同学们解题有所帮助. 1 注意函数的整体性虽然分段函数在不同的区间有不同的解析式,但其整体仍是一个函数.在处理分段函数的单调性、零点等整体性质问题时,要把握好分段函数的整体性. 例 1 已知若 f(x) 在 R 上单调递
重点辅导 | 函数奇偶性及其应用的关键点探究

重点辅导 | 函数奇偶性及其应用的关键点探究

奇偶性是函数性质的直观体现, 是特殊的对称性, 也是考查学生推理论证、化归与转化、数形结合等能力的有效载体. 历年高考对函数奇偶性的考查多与单调性、周期性等进行综合, 考查形式以客观题为主, 难度中等偏上. 本文对函数奇偶性及其应用中的关键点进行归纳总结. 1 明确函数奇偶性的定义及判别方法函数 f(x) 的定义域 D 关于原点对称，即当 x∈D 时，必有 -x∈D，若 f(-x)=f(x)
重点辅导 | 例说指对互化在解题中的应用

重点辅导 | 例说指对互化在解题中的应用

对数是指数的逆运算,对数函数是指数函数的反函数.因此,对数和指数的运算问题往往可以运用指对互换式: ax=N⇔logaN=x(a>0 且 a≠1,N>0) 进行相互转化,从而达到简化方程、函数、不等式的结构的目的,为后续解题铺平道路.本文举例说明,供同学们参考. 1 解方程问题例 1 （1）方程的正实数解 ____. (2)设 m 为正数, 若实数 t 是关于 x 的方程的解
重点辅导 | 预备知识在高考题中的应用

重点辅导 | 预备知识在高考题中的应用

每年高考结束之后,在开展试卷分析时,总会发现这样一个现象:很多综合题的失分点,并非集中在题目的最后一步,而是出现在解题过程中的某个基础环节.学生并非不具备处理复杂问题的能力,而是对于题目所依托的预备知识掌握得不够扎实,这就导致解题无法顺利推进.高考综合题的命制往往遵循“知识铺垫、能力提升”这一基本逻辑,题目中的每个条件以及每个设问,都有着预备知识的支撑. 1 活用函数性质,化抽象为具体函数的
方法与技巧 | 函数对称中心的判定方法

方法与技巧 | 函数对称中心的判定方法

函数的对称性是连接函数图像、单调性、极值、零点等知识点的重要桥梁。近年来，高考对函数对称中心的考查不断深化，呈现出“题型多样、综合性强、立意新颖”的特点。因此，系统梳理对称中心的判定方法与应用很有必要。 1 定义法函数 f(x) 的图像关于点 (a,b) 成中心对称的充要条件是: 对定义域内任意 x, 都有 f(a+x)+f(a-x)=2b. 这是判定函数对称中心的根本依据. 例1 已知
方法与技巧 | 幂、指、对式大小比较问题求解对策

方法与技巧 | 幂、指、对式大小比较问题求解对策

将与幂、指、对式相关的三个实数从小到大排列起来，是近年来常考的一类题目，其中有些甚至成为压轴题。此类问题的解决，不但需要有扎实的函数和导数基础知识，而且需要有丰富的解题经验和应对策略。本文通过对近年来几道典型问题的求解分析和方法点评，揭示解决幂、指、对式大小比较问题的若干策略，目的在于梳理常规解题思路、归纳常用解题方法、巩固核心解题技巧。 1 利用中间量过渡比较大小当直接比较两个数值的大小遇
方法与技巧 | 共零点原理在积函数求参数问题中的应用

方法与技巧 | 共零点原理在积函数求参数问题中的应用

若函数的解析式是两个基本函数之积的形式，则称该函数为积函数，其中的不等式恒成立求参数问题是典型且结构特征突出的问题，运用共零点原理解决此类问题能收到事半功倍的效果.本文通过对典型例题的分析，揭示其解题思维路径，指出求解的措施与注意要点，供参考. 1 求单参数的值例 1 若在 R 上恒成立，求实数 a 的值. 设 f（x）=（x-1）（x-a），，则 f（x）有两个零
方法与技巧 | 导数中隐零点的识别与破解方法

方法与技巧 | 导数中隐零点的识别与破解方法

导数作为高中数学函数模块的核心知识,在函数最值求解、不等式证明、参数范围确定等题型中占据关键地位. 函数零点分析是导数应用的重要体现,部分函数的零点无法通过代数运算直接求解,此类零点被称为隐零点. 隐零点问题长期困扰着师生,解题过程中容易出现思路中断的情况. 基于此,本文阐述隐零点的识别特征,梳理针对性的破解方法,为解题提供清晰指引. 1 等量代换法等量代换法是导数隐零点问题的核心破解方法，
方法与技巧 | 构造函数,巧比实数大小

方法与技巧 | 构造函数,巧比实数大小

大小比较问题是近年来比较常见的题目类型,在高考和各级各类模拟题中经常以选择题或填空题的形式出现.解答这类问题时,不仅要用到常规的大小比较方法,多数情况下还需要借助函数与导数知识完成求解,同时要求解题者能够灵活选用多样的解题策略.本文通过对几道典型例题的解析,梳理了运用构造函数法处理大小比较问题的路径. 1 判断后建立函数关系例 1 已知 , , c = 2ln 1.1,则下列判断
方法与技巧 | 求解函数解析式的几个方法与技巧

方法与技巧 | 求解函数解析式的几个方法与技巧

函数是由定义域、对应法则和值域三个要素构成的,其中对应法则常用解析式来表示,求解函数解析式有哪些方法与技巧呢?本文举例说明. 1 待定系数法当函数类型已知或函数解析式已知但含有参数时,一般用待定系数法构建方程组来求函数解析式. 例1（多选题）已知一次函数 f(x) 满足 f(f(x))=4x-21 , 则 f(x) 的解析式可能是. A. f(x)=2x-7 B. f(x)=2x+
方法与技巧 | 含参零点问题的解题策略

方法与技巧 | 含参零点问题的解题策略

函数的零点是高中函数的核心内容,常与方程、不等式交会命题,其中参数的取值范围问题尤为常见,是高考考查的重点与热点.该类问题综合性强、思维要求高,一直是学生的学习难点.本文结合典型实例,系统梳理含参零点问题的常用解题策略,以期为读者突破这一难点提供思路借鉴. 1 函数零点存在定理例1 已知函数，若 f(x) 在 (-1,1) 上有零点，则实数 a 的取值范围是 ____. 解析因为函数
方法与技巧 | 例析二元条件最值问题的求解策略

方法与技巧 | 例析二元条件最值问题的求解策略

带有二元变量限制条件的最值(范围)问题是近年高考及数学竞赛中的一种重要题型. 由于这类问题的呈现方式灵活, 解题方法多样, 蕴含的数学思想极为丰富, 对数学运算、逻辑推理等能力要求较高, 从而具有较好的选拔性与区分度. 本文依据限制条件的呈现方式将此类问题分为四类, 通过对四道例题的常规解法进行探究, 总结处理这类问题的方法与策略, 归纳其解题规律, 提升解题的针对性与有效性. 1 限制条件为
学科防疫站 | 由特殊到一般:偶函数参数求解的必要性与充分性——从一道求偶函数参数问题的错解谈起

学科防疫站 | 由特殊到一般:偶函数参数求解的必要性与充分性——从一道求偶函数参数问题的错解谈起

已知函数奇偶性求参数问题是高考常考内容,其考查方式在近年高考中呈现出明显的特征与规律.本文从高考命题角度对函数奇偶性的考查定位进行分析,并以一道求偶函数参数问题为例,剖析学生将“特殊值代入”误认为“定义验证”的逻辑错误.通过正误方法的对比分析,揭示了“先必要后充分”的解题策略,旨在帮助学生厘清“任意”与“存在”的逻辑差异. 1 高考对函数奇偶性的考查定位函数的奇偶性是高中数学的核心内容,也是

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