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高中数理化

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2026年13期

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名师工作室 | 新课标下由一题多解探析统计与概率命题情境与备考策略

名师工作室 | 新课标下由一题多解探析统计与概率命题情境与备考策略

统计与概率作为高考数学的核心模块,近年来已不再局限于对传统知识的考查,而是在新颖情境中考查创新思维.这种命题特点既贴合《普通高中数学课程标准(2017年版2025年修订)》中“发展学生数学核心素养”的要求,又对高三复习备考提出了新的挑战——学生需跳出机械刷题的思维定式,在情境中理解知识,在创新中提升能力. 1 情境化与创新性设计的典型体现例 1 （2024 年新高考Ⅱ卷 14）如图 1
高考全关注 | 集合与常用逻辑用语高考复习备考策略

高考全关注 | 集合与常用逻辑用语高考复习备考策略

回眸近几年新高考试题,集合与常用逻辑用语属于必考内容,命题稳定,难度不大. 1 命题分析 1)考查形式以单选题呈现,分值为5分,通常出现在单选题的前4题中. 2)考查难度以基础题为主,集合的命题形式比较单一,主要考查集合的化简(结合不等式的求解)和集合的运算.对于常用逻辑用语的考查,以四种条件的判断和复合命题的否定为主,旨在考查对相关概念的理解和逻辑推理能力. 3)考查热点主要是不等式的求解和
高考全关注 | 小题蕴含思维解题彰显智慧

高考全关注 | 小题蕴含思维解题彰显智慧

2026年新高考数学试卷加强基础考查，引导学生构建系统化、结构化的数学知识体系;优化试卷结构，创新情境设计，通过开放设问鼓励多路径的探究与论证，将考查的重心聚焦于学生的思维品质与核心素养.2026年新高考数学试题严格依据《普通高中数学课程标准（2017年版2025年修订）》（以下简称课程标准），考查的内容范围、能力要求、素养导向与课程标准内容一致，考查的知识限定在必修课程内容和选择性必修课程内容的
高考全关注 | 深化基础考查聚焦思维发展

高考全关注 | 深化基础考查聚焦思维发展

2026年新高考Ⅰ卷数学试题严格依据《中国高考评价体系》与《普通高中数学课程标准（2017年版2025年修订）》命制，对标《教育强国建设规划纲要（2024—2035年）》改革部署，全面落实高考“立德树人、服务选才、引导教学”的核心功能。试卷跳出机械刷题的固化考查模式，立足学科素养导向，纵深推进教育评价改革，扎实落地“双减”工作要求。试卷既兼顾了高考人才选拔的核心属性，也有效引导高中数学教学回归课堂
高考全关注 | 撷析基本不等式

高考全关注 | 撷析基本不等式

(江苏省张家港中等专业学校) 基本不等式是高中数学的重要知识点,是求解最值问题的常用工具.在利用基本不等式解决相关问题时,要充分把握“一正、二定、三相等”的特点,通过配凑、转化、换元等方法,形成层次清晰的解题思路. 1 直接应用基本不等式求最值例 1 (1) 已知 x > 0，求的最小值； (2)已知实数 x, y 满足 xy - 3x - 2y = 0，求 (x-2)2+(y-3
强基竞赛 | 借助数形结合思想理解闵可夫斯基不等式

强基竞赛 | 借助数形结合思想理解闵可夫斯基不等式

数形结合是一种重要的思想方法，它能将抽象的数学语言与直观的图形相结合，借助直观的“形”来理解抽象的“数”，运用“数”的精确来细致地刻画“形”的特征，从而有助于把握数学问题的本质，有效解决问题.中国著名数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微;数形结合百般好，隔离分家万事休.”因此，教师在教学过程中应充分向学生渗透数形结合思想，以帮助学生深化对数学问题和知识的理解，培养学生的数学思维
题根研究 | 绝对值不等式恒成立问题的解题策略分析

题根研究 | 绝对值不等式恒成立问题的解题策略分析

绝对值不等式是高中数学的重要内容,涉及函数、方程与不等式的综合应用,具有较强的抽象性与逻辑性.该类问题在高考与各类竞赛中频繁出现,常以“恒成立”“存在性”或“取值范围”等形式设问,考查学生的代数变形能力、数形结合思想与分类讨论思想.本文以一道典型试题为例,系统探讨绝对值不等式恒成立问题的多种解法,旨在为学生构建清晰的解题框架,提升解决复杂不等式问题的能力. 1 试题呈现题目已知 a > 1
题根研究 | 基于教材习题,拓展思维应用

题根研究 | 基于教材习题,拓展思维应用

柯西不等式是一个非常重要的不等式，其自身具有对称和谐的结构特征与较大的应用价值.利用柯西不等式可以证明不等式，求解代数式的最值、取值以及参数的最值（或取值范围）等问题. 1 链接教材题目（人教 A 版普通高中教科书数学必修第二册第 37 页习题 6.3 第 16 题）用向量方法证明：对于任意的 a，b，c，d∈R，恒有不等式（ac+bd）2⩽（a2+b2）（c2+d2）. 该习题对应的
考题分类评析 | 函数基本性质在不等式求解中的应用分析

考题分类评析 | 函数基本性质在不等式求解中的应用分析

不等式的求解往往不局限于单纯的代数放缩或公式套用,常常需要运用函数的单调性、奇偶性、周期性等基本性质.本文从函数的基本性质和辅助函数的构造等多个角度,分析函数的基本性质在不等式求解中的应用. 1 函数的基本性质函数的基本性质包括单调性、最值、对称性、奇偶性、周期性,各性质在求解不等式中的应用如下. 1) 单调性: 函数单调性反映的是函数值随自变量增大而递增或递减的变化规律, 在解不等式时,
考题分类评析 | 数形结合思想在点集区域问题中的分类解析

考题分类评析 | 数形结合思想在点集区域问题中的分类解析

针对高中数学中点集区域问题的求解难点,本文提出五类数形结合分析框架:不等式约束、仿射组合、几何轨迹、空间投影及新定义解析构造.通过构建“代数条件—几何模型—量化求解”的转化路径,提炼出“条件几何化、图形辅助计算、模型建构”三阶解题路径.重点给出了可迁移的面积模型,总结了降维投影、图形拆解、极值定位等实用策略.结合近年高考典型例题,验证了该框架在简化运算、直观判断存在性、攻克新定义题型等方面的独
考题分类评析 | 一把钥匙开几把锁

考题分类评析 | 一把钥匙开几把锁

本文聚焦一个高频考点——二次函数零点分布问题,以此为“麻雀”进行完整解剖.文章依次展开:该问题的根源模型是什么?命题人如何对其进行十种典型变式?每一种变式对应的解题通法是什么?如何通过一道题的深度剖析实现“做一题、会一类、通一片”?通过这一具体例证,展示“摸清根源—把握变式—举一反三”这一数学学习思路的可操作性与强大威力. 1 以小见大:为何选择这一“小点”为切入点很多同学渴望“一招鲜,吃
考题分类评析 | 导数背景下不等式恒成立问题的解答要点

考题分类评析 | 导数背景下不等式恒成立问题的解答要点

不等式在某些条件下恒成立求参数取值范围问题,是历年高考考查导数应用的常考题型.此类问题可有效考查学生化归与转化、分类讨论、数形结合等数学思想的应用,以及逻辑推理、数学抽象、数学运算等数学核心素养.本文从以下几个方面说明处理不等式恒成立问题要明确的几个要点. 1 明确问题本质不等式恒成立, 这是一个全称命题, 即所给区间内的任意一个变量, 都能使不等式成立. 因此不等式恒成立的本质是给定区间内
重点辅导 | 抓住关键点探路求范围

重点辅导 | 抓住关键点探路求范围

必要性探路是一种重要的思考模式,在相关数学问题的研究和探索中能够起到关键作用,其指导思想是从特殊到一般去分析某些陌生问题.在逐步缩小研究范围的过程中,使问题获得更简洁、更轻松的解决.通过抓住关键点进行必要性探路的思维方法应用很广,本文主要探讨其在不等式恒成立求参数取值范围问题中的应用. 1 考虑区间端点对于“若 x∈[a,+∞) (或 x∈[a,b] )，有 f(x)⩾0 (或 f(
重点辅导 | 应用导数处理函数问题中的几个要点

重点辅导 | 应用导数处理函数问题中的几个要点

导数是求复杂函数单调区间、极值、最值的重要工具. 学生在应用导数解决相关问题时，由于易忽视函数定义域、对一些概念的本质认识不清、不经思考盲目入手以及遗漏对所得结论的检验等原因，出现会而不对、对而不全的情况. 本文举例分析导数应用中需要注意的要点，供同学们参考. 1 优先考虑定义域定义域是函数的三个要素之一，对函数的研究不能脱离定义域.高中数学中涉及的函数定义域，除了题目给出的范围外，要
重点辅导 | 柯西不等式在高中数学中的应用

重点辅导 | 柯西不等式在高中数学中的应用

柯西不等式是高中数学中的常用工具,在证明不等式、求解最值以及处理代数式变形问题上应用广泛,熟练运用能让数学学习事半功倍.此类问题对学生逻辑思维能力与数学运算能力要求高,若能熟练借助柯西不等式解题,不仅能让原本复杂的问题迎刃而解,还能提升学生的应变能力,提高解题效率. 1 柯西不等式的基本形式柯西不等式主要有以下几种类型. 1) 二维形式对于任意实数 a, b, c, d, 有 (a2+b2
重点辅导 | 剖析函数的周期性

重点辅导 | 剖析函数的周期性

周期性是函数的重要性质,抽象函数的周期性问题既是高中数学的重难点,也是高考的热点.明确周期性的本质特征,并总结有关规律,对处理相关问题大有裨益.基于此,本文对函数周期性及其相关问题进行探究、拓展,以期对同学们的解题有所帮助. 1 周期性的定义已知函数 f(x) 的定义域为 D，若对任意的 x∈D ，存在不为 0 的常数 T，使得 f(x+T)=f(x) ，则称函数 f(x) 具有周期
重点辅导 | 二次三绝:同源·互化·共融

重点辅导 | 二次三绝:同源·互化·共融

在高中数学中，二次方程、二次函数与二次不等式被合称为“三个二次”.初学时，它们分属不同章节，解法也各不相同，求根公式、配方法、十字相乘法、判别式法、图像法……然而，随着学习的深入会发现，这三者实际上是一个整体的不同侧面.本文从“同源”“互化”“共融”三个层次，通过典型例题展示如何实现从“孤立求解”到“一体贯通”的思维跃升. 1 同源——判别式是三者联系的纽带判别式 Δ=b2-4ac 是连接“
重点辅导 | 基本不等式求最值的三种常见转化方法

重点辅导 | 基本不等式求最值的三种常见转化方法

最值问题是高中数学的重要题型,也是高考的热门考点,侧重考查学生的逻辑推理、数学运算、转化与化归能力.基本不等式作为求解最值问题的经典工具,具有思路简洁、运算高效的特点,其应用的关键在于对代数式进行合理变形与等价转化,将非标准形式整理为满足“一正、二定、三相等”条件的标准结构,这也是学生解题的难点所在.基于此,本文结合典型例题,梳理齐次化法、消元法与换元法三种基本不等式求最值的常见转化方法,旨在
难点挑战 | 多变量试题解法探究

难点挑战 | 多变量试题解法探究

本学期笔者所在学校参与的多次联考中接连出现了多变量(三个及三个以上的变量)试题,学生的得分率很低.此类试题综合性强,具有很强的灵活性,考查的知识点覆盖面很广,2025年高考数学天津卷更是以多变量试题压轴.通过解题研究可以挖掘题目背后蕴含的数学观点、数学思想,透过现象认识本质.因此,对多变量试题的解法及求解策略进行探究具有重要的现实意义.下面以本学期考试中出现的多变量试题为例进行探究,以求抛砖引
难点挑战 | 无理函数最值或值域问题的转化策略

难点挑战 | 无理函数最值或值域问题的转化策略

无理函数通常是指自变量包含在根式(通常是最简根式)中的函数. 求无理函数的最值或值域是高中数学中较为常见的一类问题, 具有一定的难度. 求解这类问题的关键是转化, 通过合理转化可以揭示问题的“本来面目”. 本文举例说明, 供同学们参考. 1 通过局部换元,转化为二次函数问题例 1 函数的最大值为( ). A. B. C. D. 2 因为所以 x∈[0,2] ，即 f
难点挑战 | 一类极值点偏移问题常见解法研究与延伸

难点挑战 | 一类极值点偏移问题常见解法研究与延伸

导数作为高中数学的核心工具,不仅承载着对函数形态的精确刻画,也是解决不等式与最值问题的重要桥梁.极值点偏移问题是导数应用中的典型难点,其常见解法体现了构造、代换与放缩的巧妙融合,因而成为高考与竞赛的高频考点.本文梳理一类极值点偏移问题的常见解法,并作延伸研究,供读者参考. 1 从一道试题谈起例 1 （2021 年新高考Ⅰ卷 22, 节选）已知函数 . 设 a, b 为两个不相等的正数,
方法与技巧 | 透析立体几何中距离最值的转化策略

方法与技巧 | 透析立体几何中距离最值的转化策略

转化思想是求解数学问题的重要思想方法之一，通过转化可以将烦琐问题简单化、抽象问题直观化、一般问题特殊化，进而降低解题难度，简化解题过程。转化思想在高中数学各模块中均有广泛的应用。本文就立体几何中距离最值问题的转化策略举例分析，供同学们参考。 1 借助对称长方体、正方体是空间中的特殊几何体，具有特殊的对称性，利用这些对称性，可简捷求解某些距离最值问题。若题目中所涉及的几何体具有长方体或正方体的
方法与技巧 | 轮换对称不等式的凑项证明法与同理策略

方法与技巧 | 轮换对称不等式的凑项证明法与同理策略

轮换对称不等式的变量作用对等、循环对称，解题思路是先确定等号成立的条件，再定向构造基本不等式进行凑项，最后通过同理推导其余对称项的不等式，将各式累加后即可证明。凑项的本质是定向构造，通过添加、拆分或配凑项，使每个对称部分都能应用基本不等式，且保证所有不等式的等号成立条件与原不等式一致。同理策略则利用轮换对称性，对其他变量不等式进行推导，简化证明过程，同时体现数学的简洁美和逻辑的一致性。本文结合
方法与技巧 | 联想导数运算法则,巧构可导函数解题

方法与技巧 | 联想导数运算法则,巧构可导函数解题

导数在函数问题中有着广泛的应用,利用导数可以求解与函数有关的单调性、极值、最值、切线、零点和不等式等问题.那么,当题目中出现与函数的导函数相关的关系式时,该如何充分运用已知条件呢?善于联想导数运算法则,巧妙构造可导函数是解决这类问题的主要途径.本文举例说明. 1 联想和、差函数的导数运算法则当已知条件中出现 f'(x)±g'(x) 形式的式子时，一般可联想和、差函数的导数运算法则，构造函数
方法与技巧 | 例谈利用基本不等式求最值的技巧

方法与技巧 | 例谈利用基本不等式求最值的技巧

基本不等式 (a > 0, b > 0) 是求解选择题和填空题的提速法宝，也是求解最值问题的“利器”，“利器”的应用必须讲究一定的技巧，那么利用基本不等式求最值有哪些常用技巧呢？本文举例说明. 1 拆项配凑当待求最值的目标式是和的形式且不满足“积为定值”时，往往需对目标式通过拆项来进行适当“改造”，将其配凑成“积为定值”的形式. 例 1 的最小值为 ____. 因为
方法与技巧 | 放缩法证明数列不等式的若干技巧和方法

方法与技巧 | 放缩法证明数列不等式的若干技巧和方法

放缩法就是根据不等式的结构特征,运用不等式的性质将不等式的一边或两边的代数式合理地放大或缩小,以解决问题. 放缩法是证明数列不等式的一种重要方法,该方法灵活多变,技巧性极高,难点在于“放大一点点就太大,缩小一点点又太小”. 那么,放缩法证明数列不等式有哪些技巧和方法呢? 本文举例说明,供读者参考. 1 放缩构造等差数列求和有些数列虽然不是等差数列,但可以恰当地放缩成等差数列,进而借助等差数列
方法与技巧 | 代换策略在不等式证明中的运用

方法与技巧 | 代换策略在不等式证明中的运用

不等式证明是高中数学的难点,其方法灵活多变,技巧性强.在证明不等式的过程中,根据题设条件,适时采取代换策略,不但可以使相关式子中字母之间的关系更加清晰,还能够改变待证不等式的结构特征,使陌生的问题熟悉化、复杂的问题简单化.本文举例介绍不等式证明中常用的代换策略. 1 常数代换用常数代换变量,由此改变相关式子的结构特征,使之有利于不等式的证明. 例 1 已知 a, b, c 都为正数，且 a
数学建模与实践 | 基于 ARIMA 模型与改进蚁群算法的中药需求预测与智能仓储仿真研究

数学建模与实践 | 基于 ARIMA 模型与改进蚁群算法的中药需求预测与智能仓储仿真研究

摘要针对中药房在需求预测与智能仓储管理中的效率优化问题,本文构建了一种基于时间序列预测与路径优化相结合的综合模型.首先,针对中药需求量数据规模较小且呈现趋势性变化的特点,采用ARIMA模型对需求序列进行建模与预测,以获得未来需求趋势.考虑到实际数据获取受限,本文基于统计规律构建仿真数据集,以验证模型方法的有效性.其次,在仓储调配环节,针对立体仓库中多节点路径优化问题,建立三维网格化仓储模型,并引入蚁群算法进行路径规划.在此基础上,通过引入精英路径强化策略、自适应信息素挥发机制以及改进启发函数,对传统蚁群算法进行优化,从而提升算法的收敛速度与路径搜索效率.最后,通过仿真实验对模型进行验证.研究结果表明,ARIMA模型能够较好地拟合需求变化趋势,改进蚁群算法在路径长度和收敛性能方面均优于传统蚁群算法,所构建的模型在中药仓储优化问题中具有一定的应用潜力.

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